卡方检验主要有两种常见类型：
1. 拟合优度检验： 检验一个分类变量的观察频数分布是否符合某个学说分布（如均匀分布、二项分布、正态分布等）。
2. 独立性检验： 检验两个分类变量之间是否存在关联（是否独立）。这是最常见的应用。
基本计算步骤 (以独立性检验为例，适用于 RxC 列联表)：
假设我们有一个包含 `R` 行和 `C` 列的列联表 (`R x C`)。表中的每个单元格 `(i, j)` 包含观察频数 `O_ij`（表示具有第 `i` 行属性和第 `j` 列属性的个案数）。
1. 建立假设：
零假设 (H)： 两个变量独立（无关联）。
备择假设 (H)： 两个变量不独立（有关联）。
2. 计算期望频数：
在零假设（变量独立）下，每个单元格 `(i, j)` 的期望频数 `E_ij` 计算公式为：
`E_ij = (行 i 的总和 列 j 的总和) / 总样本量 (N)`
`行 i 的总和` = 第 `i` 行所有观察频数的总和。
`列 j 的总和` = 第 `j` 列所有观察频数的总和。
`N` = 整个表格的观察频数总和（总样本量）。
3. 计算卡方统计量：
卡方统计量 `χ2` 是通过对表格中所有单元格计算 `(观察频数
`χ2 = Σ [ (O_ij
`Σ` 表示对所有单元格求和 (`i` 从 1 到 `R`, `j` 从 1 到 `C`)。
`O_ij` = 单元格 `(i, j)` 的观察频数。
`E_ij` = 单元格 `(i, j)` 的期望频数。
4. 确定自在度：
自在度 `df` 决定了卡方分布的形状。对于 `R x C` 列联表的独立性检验：
`df = (R
5. 查找临界值或计算 P 值：
根据预先设定的显著性水平 `α`（通常为 0.05 或 0.01）和计算出的自在度 `df`，查卡方分布临界值表，找到对应的临界值 `χ2_critical`。
或者，更常用的技巧是使用统计软件直接计算基于 `χ2` 值和 `df` 的 P 值。
6. 做出决策：
查临界值法： 如果计算出的 `χ2 >= χ2_critical`，则在显著性水平 `α` 下拒绝零假设 `H`，认为两个变量不独立（有关联）。否则，无法拒绝 `H`。
P 值法： 如果计算出的 P 值 <= α，则在显著性水平 `α` 下拒绝零假设 `H`，认为两个变量不独立（有关联）。否则，无法拒绝 `H`。
重要特例：2×2 列联表 (四格表)
2×2 表是最简单也最常见的独立性检验情形。其计算有特定的公式，并且需要考虑连续性校正（特别是当期望频数较小时）。
观察频数表：
| | 列 B (是) | 列 B (否) | 行总和 |
| :
| 行 A (是) | a | b | a+b |
| 行 A (否) | c | d | c+d |
| 列总和 | a+c | b+d | N |
期望频数 `E_ij` (计算公式不变):
`E_a = ( (a+b) (a+c) ) / N`
`E_b = ( (a+b) (b+d) ) / N`
`E_c = ( (c+d) (a+c) ) / N`
`E_d = ( (c+d) (b+d) ) / N`
卡方统计量计算 (标准公式
`χ2 = Σ [ (O
卡方统计量计算 (专用公式
`χ2 = [ N(ad
分子中的 `(ad
分母是四个边际和的乘积。
卡方统计量计算 (耶茨连续性校正
`χ2_corrected = [ N(|ad
注意分子中的 `|ad
当任一期望频数 `E_ij 40` 时，或 `N < 20` 时，通常建议使用校正。但当期望频数非常小（如 `E_ij < 1`）或样本量很小（`N = 1`。
不超过 20% 的单元格 `E_ij < 5`。
如果期望频数太小：
增加样本量。
合并相关类别（如果合理且有实际意义）。
对于 2×2 表，当 `N < 40` 或任一 `E_ij α 则没有足够证据拒绝 H。
7. 检查期望频数是否满足要求。
领会卡方检验的计算原理有助于正确应用和解释结局，但在实际职业中（尤其是表较大时），通常借助统计软件（如 SPSS, R, Python, Excel）来完成计算。
